Probabilités et énigmes

Maîtriser les probabilités en s'amusant ?

C'est possible avec quelques énigmes célèbres ou inédites !

Le Camping des flots bleus

Camping

Dominique, le directeur du camping des Flots Bleus, a reçu un avis météo aussi défavorable qu’ambigu :

  • Hypothèse A : soit à partir de 16h00, un orage violent frappera son camping pendant 1h00 et il sera tombé 20 mm,
  • Hypothèse B : soit les vents fléchissent et tomberont 30 mm de précipitation pendant 1h30.

La première hypothèse est probable à 30%, et la seconde à 70%. En résumé :

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A 16h30, il affirme à l’un de ses clients : « Dr. Duflot, il est tombé 10 mm d’eau en 30 minutes et si je fais mes calculs de statistiques, la première hypothèse est devenue probable à 39% et la seconde à 61%.

Dominique assimile chaque quantité de pluie à un résultat d'un tirage au sort. Pourquoi pas, mais il applique la formule de Bayes de façon erronée :
Camping_Tb_02.png
Le docteur Duflot comprend que dans les deux cas, il ne va pas pouvoir jouer aux boules. Mettant à profit le temps disponible, il cherche comment appliquer la formule de Bayes correctement. Avant la fin de la pluie, il va donc voir Dominique et lui montre la bonne méthode pour aligner les chiffres et (ouf !) sortir le bon résultat.

Question

Comment a-t-il remis les chiffres de Dominique en ordre ?

Réponse

Bâtissons les graphes :

Camping_Gr_01.png


Camping_Gr_02.png
Malgré l'observation faite au bout de 30 minutes, on retrouve les probabilités de 30% et 70% inchangées ! Soit: \[P(A) = P(A|E) = 30\% ;\] \[P(B) = P(B|E) = 70\%.\] Dominique a certes fait une observation correcte au bout de 30 minutes, mais qui n'apporte rien au raisonnement. On peut dire que cet événement a une quantité d'information nulle. On pouvait le deviner et Bayes le confirme.

Pour un lecteur observateur, ce graphe montre des moyennes qui choquent au premier regard. Le calcul montre une pluie de 27 mm, ce qui semble contraire aux hypothèses. On a 6 mm de pluie venant de la première hypothèse et 21 mm de la seconde ! Pour Dominique, cela n’a pas de sens, en effet. Mais c’est correct pour un observateur qui cherche à faire une moyenne sur un grand nombre d’orages qui auraient les mêmes caractéristiques.

Seul le contexte peut nous dire si ces nombres ont un sens.